6 sept. 2018

EL VIENTO II - ¿CUÁL ES LA VELOCIDAD QUE MINIMIZA LA RESISTENCIA?

...Continuación post anterior.

Para el caso que se planteó en el post anterior de viento soplando en la dirección de avance la respuesta a cuál es la velocidad del coche que minimiza la resistencia aerodinámica parece sencilla, pero tiene más miga de lo que parece.

Obviamente si reducimos la velocidad del coche se reduce la resistencia aerodinámica, pero a costa de tardar más. Lo que estamos buscando es recuperar el tiempo perdido (al menos parcialmente) cuando el viento sopla a favor aumentando la velocidad. La pregunta es cuánto hay que modificar la velocidad para minimizar lo máximo posible el efecto del viento:

Recuperamos la ecuación que presenté en el post anterior y añadimos la variación de la velocidad para reducir la resistencia.

Dv ∝ ½×(V+v-δ1)2+½×(V-v+δ2)2

Donde:
Dv es la resistencia aerodinámica en promedio con viento soplando la mitad del tiempo de cara y la otra mitad del tiempo a favor
V es la velocidad del coche a la que circulamos en condiciones sin viento
v es la velocidad del viento
δ1 es la reducción de la velocidad del coche cuando el viento sopla de cara
δ2 es el aumento de la velocidad del coche cuando el viento sopla a favor

Si desarrollamos los dos términos de la ecuación obtenemos lo siguiente:

Dv ∝ V2+ V×(δ21) + ½×(v-δ1)2+½×(δ2-v)2

Y aquí ya se ve que aparentemente la solución es: δ2 = δ1 = v es decir reducir y aumentar la velocidad del coche justo la velocidad del viento. O lo que es lo mismo circular de manera que el viento aparente (es decir la velocidad del coche más la velocidad del viento) sea siempre V. Con esta estrategia conseguimos eliminar por completo el efecto del viento, ya que queda Dv  proporcional al cuadrado de V y los otros tres términos son cero.

Esta además es la estrategia que siguen los aviones comerciales.  Un avión se puede enfrentar a vientos muy elevados, en muchas ocasiones de más de 100Km/h, donde además el efecto del viento es mayor que en un coche ya que afecta a más términos de la ecuación (como se explicó en este post el coeficiente CD es sensible al número de mach). Por eso cuando se cruza el atlántico norte, donde hay una corriente de chorro potente,  se tarda menos cuando se va a Europa que cuando se va a Norteamérica, porque se vuela manteniendo más o menos constante el número de mach, es decir la estrategia mostrada.

Pero esta estrategia no es gratuita, el precio que hay que pagar por eliminar el efecto del viento en la resistencia aerodinámica es un aumento en el tiempo que tardamos, en la práctica es lo mismo que reducir la velocidad, pero de manera óptima. En este post explicaba como la velocidad media es proporcional a la media armónica. Para el caso que nos ocupa el aumento de tiempo obedece a la siguiente proporción:

Δt = (1/(V-v)+1/(V+v))/(2/V)

Si adimensionalizamos la velocidad del viento v con la velocidad de referencia V nos queda la siguiente ecuación:

Δt = ((1-v/V)×(1+v/V))-1

Y la siguiente gráfica:


Como es lógico el aumento de tiempo tiende a infinito cuando v se aproxima a V, o en otras palabras no hay solución si v iguala o supera a V. Ejemplo práctico: supongamos que circulamos por autopista normalmente a 100Km/h, y nos enfrentamos a un viento de 30Km/h. Si seguimos la estrategia óptima para que no aumente la resistencia aerodinámica (circular a 70Km/h con viento de cara y 130Km/h con viento a favor) entonces en promedio tardaremos un 10% más respecto a la opción de circular siempre a 100Km/h. Este coste en tiempo, más los inconvenientes de circular a velocidades tan extremas, hace esta estrategia poco utilizable en la práctica. Para el ejemplo mostrado la velocidad baja es inaceptablemente baja (circular a 70Km/h es una falta de respeto a los demás conductores y además es peligroso, entre otras cosas todo el tráfico pesado te adelantará). Y circular a 130Km/h además de ser ilegal en España, probablemente será inaceptablemente alto para una persona que circula normalmente a una velocidad tan baja como 100Km/h.

Así que tenemos que buscar algo mejor. Resulta que la solución mostrada no es la única posible, en realidad existe una infinidad de velocidades posibles que cumplen la condición de no aumentar la resistencia aerodinámica. Para verlo definimos las siguientes variables adimensionales:

v' = v/V
x = δ1/V
y = δ2/V

La ecuación que tenemos que resolver es:

V2 = ½×(V+v-δ1)2+½×(V-v+δ2)2

Que con las variables que he introducido queda como:

(1+v'-x)2 + (1-v'+y)2 = 2

Y si despejamos x queda un polinomio de segundo grado como:

x2 - 2×(1+v')×x + (y2 + y×(2-2×v') + 2×v'2) = 0

Y la solución a este polinomio es:

x = (1+v') ± (2-(1-v'+y)2)½

Pero de las dos raíces posibles la única solución válida es la negativa, ya que x ha de ser menor que 1 y v' oscila entre 0 y 1. Fijaros como la primera estrategia mostrada satisface la ecuación ya que cuando y = v'; entonces x = v'.

De la infinidad de soluciones posibles ¿cuál es la que más nos interesa? Pues depende lo que estemos buscando, en este caso estamos buscando variaciones de velocidad lo más bajas posibles, y el valor más bajo posible para y es 0 (una y negativa no tiene sentido, porque supondría reducir la velocidad cuando el viento sopla a favor). Por tanto, la estrategia que más nos interesa para el caso de un coche es:

y = 0
x = (1+v') - (2-(1-v')2)½

O sin adimensionalizar:

δ2 = 0
δ1 = (V+v) - V×(2-(1-v/V)2)½

Ecuación que os muestro en la siguiente gráfica:


Apliquemos esta estrategia al ejemplo anterior: viento de 30Km/h y velocidad de referencia sin viento 100Km/h. La velocidad a la que hay que circular para que en promedio no aumente la resistencia aerodinámica es: con viento a favor la velocidad de referencia, y con viento de cara reducir la velocidad un 7,1% es decir 93Km/h. Y el coste en tiempo de utilizar esta estrategia es tardar un 3,8%. Por tanto, queda claro que esta estrategia es mucho más ventajosa que la planteada inicialmente. De hecho, se podría incluso utilizar para el caso de v = V. Aunque el coste en tiempo sería enorme, tardaríamos un 71% más, pero también reduciríamos la resistencia aerodinámica en promedio a la mitad.

Las estrategias mostradas tienen un inconveniente importante cuando la relación v/V es elevada, tardamos más. Otra optimización que tiene sentido es añadir la restricción de no aumentar el tiempo que tenemos que estar en la carretera. ¿Cuánto es posible reducir la resistencia aerodinámica con esta restricción? La solución óptima desgraciadamente ni es obvia, ni fácil de resolver, ya que se trata de una de las raíces de un polinomio de cuarto orden, al menos la solución es analítica, aunque no sea sencilla en absoluto. Seguidamente muestro la solución analítica por si es útil para alguien:

La ecuación que tenemos que resolver es:
min[(1+v'-x)2+(1-v'+y)2]

Y la restricción de no aumentar el tiempo se recoge en la siguiente ecuación, que no es más que la media armónica:
1/(1-x)+1/(1+y) = 2

Despejando:
x = y/(1+2y)

Por tanto la ecuación que queremos minimizar se puede expresar únicamente como una función de y, para calcular los mínimos hay que derivar en y, y calcular los ceros de la siguiente ecuación:
df(y)/dy = 2×(1+v'-y/(1+2y))×(-1/(1+2y)+2y/(1+2y)2)+2×(1-v'+y) = 0

Para simplificar la ecuación introducimos la nueva variable:
z = 1+2y

Operando obtenemos el siguiente polinomio de cuarto orden:
z4+(1-2×v')×z3+(-1-2×v')×z-1

Para facilitar la solución del problema introducimos la nueva variable:
a = 1-2×v'

La ecuación que tenemos que resolver es:
z4+a×z3+(a-2)×z-1=0

De las 4 raíces de la ecuación la siguiente es el mínimo que estamos buscando:
z = -a/4 + R/2 + D/2

Donde R y D son:
R = (a2/4+b)½
D = (3×a2/4-R2-(8×(a-2)-a3)/(4×R))½

Donde b es:
b = A+B
A = (-b'/2+(b'2/4+a'3/27)½)1/3
B = (-b'/2-(b'2/4+a'3/27)½)1/3

Donde b' y a' son:
a' = a2-2×a+4
b' = 4×a-4


En la siguiente gráfica os muestro las velocidades óptimas y el aumento en promedio de la resistencia aerodinámica para esta tercera optimización:


Esta estrategia se puede aproximar con la siguiente regla:
  • Con viento de cara reducir la velocidad un 24% de la velocidad del viento.
  • Con viento a favor aumentar la velocidad un 47% de la velocidad del viento.
El ajuste de esta regla no es perfecto, para conseguir una regla sencilla que aproxime con precisión lo mejor que he encontrado es aproximar con una ecuación cuadrática:
  • Con viento de cara reducir la velocidad: -0,0830×(v/V)+ 0,3236×(v/V) + 0,0007
  • Con viento a favor aumentar la velocidad: 0,1463×(v/V)+ 0,3207×(v/V) + 0,0009
Apliquemos esta estrategia al ejemplo anterior. Con el viento de cara reduciremos la velocidad un 9,1%, es decir circularemos a 91Km/h. Con el viento a favor aumentaremos la velocidad un 11,1%, es decir circularemos a 111Km/h. Esto son velocidades razonables para utilizar en la práctica. Pero a cambio la resistencia aerodinámica aumentará en promedio un 6%. Como sin aplicar ninguna estrategia la resistencia aerodinámica en este ejemplo aumenta un 9%, quiere decir que la restricción de no aumentar el tiempo limita bastante la posibilidad de ahorro. Si hacéis los números veréis que para cualquier velocidad de viento y del coche los ahorros son siempre muy similares a un tercio, en principio poco para un fanático del consumo.

Lo que hemos visto en este post está muy bien para un avión que se enfrenta a vientos constantes, y dispone de instrumentación que proporciona la velocidad del viento con precisión, pero son de difícil aplicación en un coche. En el próximo post propondré estrategias sencillas que se puedan utilizar en la práctica.

Continuación...

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