Para terminar los dos últimos posts sobre resistencia de rodadura, voy
a dedicar un tiempo a una serie de reflexiones sobre modelos y métodos para
calcular la resistencia de rodadura.
Este post se aleja del objetivo del blog, por tanto, recomiendo a las personas sin interés en este tema tan específico que pasen al siguiente post.
Efecto de la velocidad y el par en la rueda
Lo primero que hay que aclarar es que los fenómenos físicos que gobiernan la resistencia de rodadura son demasiado complejos para que se puedan modelar rigurosamente, es decir es necesaria una aproximación experimental. Por ejemplo, la resistencia aerodinámica se puede obtener directamente de las ecuaciones de la dinámica de fluidos (ecuaciones de Navier-Stokes) con una serie de simplificaciones y un costoso esfuerzo computacional. También de estas ecuaciones se justifica la aproximación mostrada en el post donde tratamos este tema. No se puede decir lo mismo de la resistencia de rodadura. Y lo que es peor, no existen modelos sencillos que permitan una buena aproximación al Cr; especialmente si tenemos en cuenta el gran número de variables que intervienen.
La única forma sencilla de abordar el problema, al menos para obtener un modelo útil al objeto de este blog, es fijar la mayor parte de las variables. Es decir, dado un coche determinado, unas ruedas con un determinado nivel de desgaste, infladas con la presión recomendada por el fabricante, y una carretera media seca, con una rigidez razonablemente alta y una rugosidad (macro y micro) razonablemente baja ¿Cuál es la resistencia de rodadura?
Restringiendo el problema a este nivel, y teniendo en cuenta además que las ruedas casi contribuyen al total de la resistencia el problema es más manejable. Resulta que hay claramente dos variables que afectan al Cr: el par en las ruedas y la velocidad del coche.
El efecto del par es conocido desde hace décadas. Os muestro tres curvas típicas obtenidas en diversas publicaciones:
Figura tomada del manual referenciado en el post anterior.
Figura tomada de Mechanics of Pneumatic Tires de la National Highway Traffic Safety Administration.
Figura tomada de The Automotive Chassis: Volume 1: Components Design de Giancarlo Genta, L. Morello
Se pueden extraer dos conclusiones:
Figura de un artículo de la United States Environmental Protection Agency de 2005, que recopila datos muy antiguos.
Actualmente la fórmula más universalmente aceptada para modelar el efecto de la velocidad en una rueda es la siguiente:
Fr = Pα×Lβ×(a + b×V + c×V2)
Cr = Pα×L(β-1)×(a + b×V + c×V2)
Donde:
El efecto de la presión lo podemos obviar, ya que siempre llevamos la misma presión en los neumáticos.
El efecto de L también lo podemos obviar. Salvo que llevemos el coche cargado al máximo permitido, L varía del entorno de un 15% y un 25%. Si tenemos en cuenta que β es muy próximo a 1, la dependencia del Cr (Cr = Fr/L) es con un exponente muy pequeño.
NOTA: Ejemplo práctico si β=0,82 (datos tomados de un neumático real) y Lmax = Lmin×1,3; entonces Crmin = Crmax×(1/1,3)0,18 = Crmax×0,954. Es decir una variación de un 30% en la carga de la rueda únicamente afecta al Cr en algo menos de un 5%.
Algunos autores desprecian el término lineal con la velocidad, pero no hay consenso, ya que también hay publicados datos experimentales donde el término lineal es muy importante. En realidad esa discusión no es muy significativa para el nivel de detalle que necesito. Únicamente me interesa el Cr para velocidades entre 10Km/h y 140Km/h, y no hay grandes diferencias entre incluir o eliminar el término lineal. A alta velocidad (más de 140Km/h) se nota bastante más, pero a esas velocidades ya vimos que la resistencia aerodinámica es totalmente dominante.
Sin embargo, no me acaban de gustar los modelos aceptados, y disculpad mi soberbia, ya que hay gente mucho más docta que yo publicando, pero no son eficaces para simular la resistencia de rodadura real de un coche.
El esfuerzo experimental se centra en ensayos de caracterizar ruedas, es decir se ensaya la rueda independientemente del vehículo donde se monta, a diversas velocidades, pero sin valorar independientemente el efecto del par.
Cuando se caracterizan coches completos el sistema habitual es el de realizar un ensayo de deceleración en punto muerto. El problema de este tipo de ensayos es que a velocidades normales los pares que sufren las ruedas son moderados. Para tener un par importante en la rueda hay que ir muy muy rápido.
NOTA: aplicación práctica a mi coche. Circulando a 100Km/h con una pendiente del 7% hay que vencer una fuerza de 1900N, es decir un 10% del peso del coche, pero para conseguir esa fuerza de frenando con la resistencia aerodinámica debería lanzar el coche a más de 200Km/h, velocidad que mi coche no puede alcanzar en una carretera en llano.
Pero además hay otro problema. Cuando un coche se frena en un ensayo de deceleración las cuatro ruedas participan en frenar el coche, en cambio cuando un coche está circulando a velocidad constante solo se aplica un par importante en las ruedas tractoras. Cuando estamos circulando en condiciones de elevado par (a saber pendientes elevadas, aceleraciones importantes o velocidades elevadísimas) esta diferencia debería ser apreciable.
Existe otro detalle importante, aunque no se suela incidir en ello en los ensayos de deceleración, cuanto mayor es la velocidad mayor es el par de frenado que tiene que compensar la rueda. Como la resistencia aerodinámica es proporcional al cuadrado de la velocidad, la resistencia que tiene que compensar la rueda es también proporcional al cuadrado. Voy a tratarlo de explicar de una manera más intuitiva. Analicemos lo que ocurre en la rueda tractora circulando en llano: cuando una rueda gira el doble de rápido tiene que transmitir al suelo cuatro veces más fuerza para vencer la resistencia aerodinámica, luego el par para vencer la resistencia aerodinámica está en menor o mayor grado dentro de los cálculos de la constante c del modelo, pero no tiene en cuenta el efecto de un par mayor debido a una cuesta o a una aceleración. Obviamente cuando la velocidad aumenta, aumentan también las fuerzas centrífugas y la frecuencia de los ciclos de cargas, la duda es cuanto cuenta estos factores respecto al aumento del par.
Ahora veamos como aplico todo lo comentado a un coche real:
Cálculo del término Cro
Lo más sencillo es calcular el coeficiente de rozamiento a muy baja velocidad (lo que sería el término Cro de mi post anterior, o Pα×L(β-1)×a en el modelo explicado más arriba).
Para ello simplemente hay que realizar una prueba de deceleración del coche a baja velocidad. Por ejemplo en mi caso he realizado los cálculos de 25Km/h a 9Km/h. La velocidad es conveniente medirla con un GPS. Únicamente hay que medir el tiempo transcurrido. Si despreciamos la resistencia aerodinámica es tan sencillo como:
ΔV = -a×Δt Fr= m’×a = m×g×Cro
Cr = -ΔV× m’/m×g×Δt
Ojo: m’ es la masa del coche teniendo en cuenta la inercia de las masas giratorias (ver post sobre este tema).
Para el caso de mi coche Δt es 59s. Y el Cr = 0,800%
En realidad lo correcto es tener en cuenta que hay una pequeña resistencia aerodinámica. La fórmula considerando esta resistencia es:
m’×a = -m×g×Cro - 1/2×ρ×V2×CD×S
NOTA: en realidad también hay un término adicional debido a que Cr tiene una dependencia con la velocidad, pero este efecto es claramente de segundo orden comparado con la resistencia aerodinámica.
Desgraciadamente ahora tenemos una ecuación diferencial a resolver:
ΔV/Δt = - m×g×Cro/m’ - 1/2×ρ×V2×CD×S/m’ = -C1 –C2× V2
Pero esta ecuación tiene una solución relativamente sencilla:
Δt = (C1×C2)-1/2×atan(Vini×(C2/C1)1/2)) - (C1×C2)-1/2×atan(Vfin×(C2/C1)1/2))
Si no he realizado mal los cálculos el Cr = 0,744%
En realidad el Cr calculado no es Cro, sino el Cr medio entre 25Km/h y 9Km/h. Por eso para el modelo redondeo por abajo: Cro = 0,74%.
El resultado obtenido es más bajo de lo que esperaba, ya que monto ruedas de cuatro estaciones, y relativamente grandes (225mm). Pero tampoco es excepcional.
Os animo si tenéis interés a realizar este test. Sólo necesitas un tramo de 400m llano donde no molestes. Se realizan cuatro mediadas en unos 10 minutos (dos en cada sentido). Sólo necesitas un cronómetro y un GPS para calcular la velocidad.
Calculo de la dependencia con la velocidad
El siguiente paso es determinar el término proporcional a V.
Las dificultades aumentan para obtener este término experimentalmente. Necesitas realizar varias medidas a alta velocidad. Por ejemplo deceleración en punto muerto de 120Km/h a 80Km/h. Si eliges una autopista el ensayo no es preciso debido a que lo correcto es hacer las medidas en los dos sentidos para compensar el efecto de la pendiente (una pequeña pendiente de por ejemplo el 0,3% arruina el resultado). Si eliges una carretera tienes que circular muy por encima del límite legal permitido, y necesitas un tramo de al menos kilómetro y medio plano en el que puedas realizar las medidas y luego dar la vuelta.
Además, como ya he dicho, tengo dudas que la resistencia de rodadura en una deceleración a 120Km/h sea representativa de la resistencia de rodadura avanzando a 120Km/h.
Finalmente he decidido no realizar medidas experimentales, en su lugar he tomado medidas reales en ruedas. En concreto me he basado en datos publicados para 6 ruedas Michelin. Dado que estos datos se han obtenido directamente de Michelin, el dato me parece más fiable, aunque tengan 10 años, que otras publicaciones más recientes. Según estos datos la resistencia de rodadura aumenta de 0Km/h a 120Km/h entre un 24% y un 40%. Escojo un valor del 30%. Con este valor el Cr a 120Km/h es del 0,96%.
NOTA: si finalmente la dependencia de Cr con la velocidad es más baja el efecto es muy pequeño, por ejemplo si el aumento fuera de únicamente el 25% entonces el Cr sería del 0,93%, la variación entre los dos Cr’s es insignificante comparada con la resistencia aerodinámica. Esto justifica que sea suficiente utilizar un término cuadrático para modelar el efecto de V, y que parezca poco útil estimar experimentalmente el Cr a elevada velocidad.
Calculo de la dependencia con el par
De lo único que estoy seguro es que cuando el par es muy elevado el Cr aumenta. Desgraciadamente no he encontrado ni una sola publicación reciente en la que se valore cuantitativamente este efecto de manera solvente.
La aproximación que he seguido es:
NOTA: ni siquiera subiendo al Tourmalet se encuentran pendientes tan elevadas.
Consideraciones finales
Soy consciente que el modelo propuesto puede contener errores importantes. A bajas velocidades el error será pequeño, a altas velocidades y elevadas pendientes el error puede ser perfectamente del 10%. Por encima de 140Km/h no está ajustado el modelo.
Pero si puedo garantizar que este modelo es mejor aproximación que suponer un Cr constante. (En el caso de mi coche sería suponer un Cr de 0,9%).
Finalmente insisto una vez más que este modelo sólo es válido para una carretera en buen estado y seca.
Este post se aleja del objetivo del blog, por tanto, recomiendo a las personas sin interés en este tema tan específico que pasen al siguiente post.
Efecto de la velocidad y el par en la rueda
Lo primero que hay que aclarar es que los fenómenos físicos que gobiernan la resistencia de rodadura son demasiado complejos para que se puedan modelar rigurosamente, es decir es necesaria una aproximación experimental. Por ejemplo, la resistencia aerodinámica se puede obtener directamente de las ecuaciones de la dinámica de fluidos (ecuaciones de Navier-Stokes) con una serie de simplificaciones y un costoso esfuerzo computacional. También de estas ecuaciones se justifica la aproximación mostrada en el post donde tratamos este tema. No se puede decir lo mismo de la resistencia de rodadura. Y lo que es peor, no existen modelos sencillos que permitan una buena aproximación al Cr; especialmente si tenemos en cuenta el gran número de variables que intervienen.
La única forma sencilla de abordar el problema, al menos para obtener un modelo útil al objeto de este blog, es fijar la mayor parte de las variables. Es decir, dado un coche determinado, unas ruedas con un determinado nivel de desgaste, infladas con la presión recomendada por el fabricante, y una carretera media seca, con una rigidez razonablemente alta y una rugosidad (macro y micro) razonablemente baja ¿Cuál es la resistencia de rodadura?
Restringiendo el problema a este nivel, y teniendo en cuenta además que las ruedas casi contribuyen al total de la resistencia el problema es más manejable. Resulta que hay claramente dos variables que afectan al Cr: el par en las ruedas y la velocidad del coche.
El efecto del par es conocido desde hace décadas. Os muestro tres curvas típicas obtenidas en diversas publicaciones:
Figura tomada del manual referenciado en el post anterior.
Figura tomada de Mechanics of Pneumatic Tires de la National Highway Traffic Safety Administration.
Figura tomada de The Automotive Chassis: Volume 1: Components Design de Giancarlo Genta, L. Morello
Se pueden extraer dos conclusiones:
- El Cr se dispara cuando nos acercamos al máximo par que la rueda puede soportar. Como regla del dedo gordo una rueda de coche de calle puede soportar fuerzas transversales y longitudinales del mismo orden que la carga de la rueda. Si nos alejamos suficientemente de pares muy elevados el Cr tiene un comportamiento razonablemente parabólico.
- El comportamiento es muy simétrico, pero el mínimo, como se puede ver en las figuras mostradas, no tiene por que estar a par cero. En dos de las gráficas mostradas el mínimo está a par positivo, en otra de las gráficas el Cr mínimo está a par negativo (la rueda frenando).
Figura de un artículo de la United States Environmental Protection Agency de 2005, que recopila datos muy antiguos.
Actualmente la fórmula más universalmente aceptada para modelar el efecto de la velocidad en una rueda es la siguiente:
Fr = Pα×Lβ×(a + b×V + c×V2)
Cr = Pα×L(β-1)×(a + b×V + c×V2)
Donde:
P es la presión de inflado.
L es la carga de la rueda.
V es la velocidad
α, β, a, b y c son cinco constantes que se obtienen empíricamente.
L es la carga de la rueda.
V es la velocidad
α, β, a, b y c son cinco constantes que se obtienen empíricamente.
El efecto de la presión lo podemos obviar, ya que siempre llevamos la misma presión en los neumáticos.
El efecto de L también lo podemos obviar. Salvo que llevemos el coche cargado al máximo permitido, L varía del entorno de un 15% y un 25%. Si tenemos en cuenta que β es muy próximo a 1, la dependencia del Cr (Cr = Fr/L) es con un exponente muy pequeño.
NOTA: Ejemplo práctico si β=0,82 (datos tomados de un neumático real) y Lmax = Lmin×1,3; entonces Crmin = Crmax×(1/1,3)0,18 = Crmax×0,954. Es decir una variación de un 30% en la carga de la rueda únicamente afecta al Cr en algo menos de un 5%.
Algunos autores desprecian el término lineal con la velocidad, pero no hay consenso, ya que también hay publicados datos experimentales donde el término lineal es muy importante. En realidad esa discusión no es muy significativa para el nivel de detalle que necesito. Únicamente me interesa el Cr para velocidades entre 10Km/h y 140Km/h, y no hay grandes diferencias entre incluir o eliminar el término lineal. A alta velocidad (más de 140Km/h) se nota bastante más, pero a esas velocidades ya vimos que la resistencia aerodinámica es totalmente dominante.
Sin embargo, no me acaban de gustar los modelos aceptados, y disculpad mi soberbia, ya que hay gente mucho más docta que yo publicando, pero no son eficaces para simular la resistencia de rodadura real de un coche.
El esfuerzo experimental se centra en ensayos de caracterizar ruedas, es decir se ensaya la rueda independientemente del vehículo donde se monta, a diversas velocidades, pero sin valorar independientemente el efecto del par.
Cuando se caracterizan coches completos el sistema habitual es el de realizar un ensayo de deceleración en punto muerto. El problema de este tipo de ensayos es que a velocidades normales los pares que sufren las ruedas son moderados. Para tener un par importante en la rueda hay que ir muy muy rápido.
NOTA: aplicación práctica a mi coche. Circulando a 100Km/h con una pendiente del 7% hay que vencer una fuerza de 1900N, es decir un 10% del peso del coche, pero para conseguir esa fuerza de frenando con la resistencia aerodinámica debería lanzar el coche a más de 200Km/h, velocidad que mi coche no puede alcanzar en una carretera en llano.
Pero además hay otro problema. Cuando un coche se frena en un ensayo de deceleración las cuatro ruedas participan en frenar el coche, en cambio cuando un coche está circulando a velocidad constante solo se aplica un par importante en las ruedas tractoras. Cuando estamos circulando en condiciones de elevado par (a saber pendientes elevadas, aceleraciones importantes o velocidades elevadísimas) esta diferencia debería ser apreciable.
Existe otro detalle importante, aunque no se suela incidir en ello en los ensayos de deceleración, cuanto mayor es la velocidad mayor es el par de frenado que tiene que compensar la rueda. Como la resistencia aerodinámica es proporcional al cuadrado de la velocidad, la resistencia que tiene que compensar la rueda es también proporcional al cuadrado. Voy a tratarlo de explicar de una manera más intuitiva. Analicemos lo que ocurre en la rueda tractora circulando en llano: cuando una rueda gira el doble de rápido tiene que transmitir al suelo cuatro veces más fuerza para vencer la resistencia aerodinámica, luego el par para vencer la resistencia aerodinámica está en menor o mayor grado dentro de los cálculos de la constante c del modelo, pero no tiene en cuenta el efecto de un par mayor debido a una cuesta o a una aceleración. Obviamente cuando la velocidad aumenta, aumentan también las fuerzas centrífugas y la frecuencia de los ciclos de cargas, la duda es cuanto cuenta estos factores respecto al aumento del par.
Ahora veamos como aplico todo lo comentado a un coche real:
Cálculo del término Cro
Lo más sencillo es calcular el coeficiente de rozamiento a muy baja velocidad (lo que sería el término Cro de mi post anterior, o Pα×L(β-1)×a en el modelo explicado más arriba).
Para ello simplemente hay que realizar una prueba de deceleración del coche a baja velocidad. Por ejemplo en mi caso he realizado los cálculos de 25Km/h a 9Km/h. La velocidad es conveniente medirla con un GPS. Únicamente hay que medir el tiempo transcurrido. Si despreciamos la resistencia aerodinámica es tan sencillo como:
ΔV = -a×Δt Fr= m’×a = m×g×Cro
Cr = -ΔV× m’/m×g×Δt
Ojo: m’ es la masa del coche teniendo en cuenta la inercia de las masas giratorias (ver post sobre este tema).
Para el caso de mi coche Δt es 59s. Y el Cr = 0,800%
En realidad lo correcto es tener en cuenta que hay una pequeña resistencia aerodinámica. La fórmula considerando esta resistencia es:
m’×a = -m×g×Cro - 1/2×ρ×V2×CD×S
NOTA: en realidad también hay un término adicional debido a que Cr tiene una dependencia con la velocidad, pero este efecto es claramente de segundo orden comparado con la resistencia aerodinámica.
Desgraciadamente ahora tenemos una ecuación diferencial a resolver:
ΔV/Δt = - m×g×Cro/m’ - 1/2×ρ×V2×CD×S/m’ = -C1 –C2× V2
Pero esta ecuación tiene una solución relativamente sencilla:
Δt = (C1×C2)-1/2×atan(Vini×(C2/C1)1/2)) - (C1×C2)-1/2×atan(Vfin×(C2/C1)1/2))
Si no he realizado mal los cálculos el Cr = 0,744%
En realidad el Cr calculado no es Cro, sino el Cr medio entre 25Km/h y 9Km/h. Por eso para el modelo redondeo por abajo: Cro = 0,74%.
El resultado obtenido es más bajo de lo que esperaba, ya que monto ruedas de cuatro estaciones, y relativamente grandes (225mm). Pero tampoco es excepcional.
Os animo si tenéis interés a realizar este test. Sólo necesitas un tramo de 400m llano donde no molestes. Se realizan cuatro mediadas en unos 10 minutos (dos en cada sentido). Sólo necesitas un cronómetro y un GPS para calcular la velocidad.
Calculo de la dependencia con la velocidad
El siguiente paso es determinar el término proporcional a V.
Las dificultades aumentan para obtener este término experimentalmente. Necesitas realizar varias medidas a alta velocidad. Por ejemplo deceleración en punto muerto de 120Km/h a 80Km/h. Si eliges una autopista el ensayo no es preciso debido a que lo correcto es hacer las medidas en los dos sentidos para compensar el efecto de la pendiente (una pequeña pendiente de por ejemplo el 0,3% arruina el resultado). Si eliges una carretera tienes que circular muy por encima del límite legal permitido, y necesitas un tramo de al menos kilómetro y medio plano en el que puedas realizar las medidas y luego dar la vuelta.
Además, como ya he dicho, tengo dudas que la resistencia de rodadura en una deceleración a 120Km/h sea representativa de la resistencia de rodadura avanzando a 120Km/h.
Finalmente he decidido no realizar medidas experimentales, en su lugar he tomado medidas reales en ruedas. En concreto me he basado en datos publicados para 6 ruedas Michelin. Dado que estos datos se han obtenido directamente de Michelin, el dato me parece más fiable, aunque tengan 10 años, que otras publicaciones más recientes. Según estos datos la resistencia de rodadura aumenta de 0Km/h a 120Km/h entre un 24% y un 40%. Escojo un valor del 30%. Con este valor el Cr a 120Km/h es del 0,96%.
NOTA: si finalmente la dependencia de Cr con la velocidad es más baja el efecto es muy pequeño, por ejemplo si el aumento fuera de únicamente el 25% entonces el Cr sería del 0,93%, la variación entre los dos Cr’s es insignificante comparada con la resistencia aerodinámica. Esto justifica que sea suficiente utilizar un término cuadrático para modelar el efecto de V, y que parezca poco útil estimar experimentalmente el Cr a elevada velocidad.
Calculo de la dependencia con el par
De lo único que estoy seguro es que cuando el par es muy elevado el Cr aumenta. Desgraciadamente no he encontrado ni una sola publicación reciente en la que se valore cuantitativamente este efecto de manera solvente.
La aproximación que he seguido es:
- Considerar que el efecto de la resistencia aerodinámica está incluido en el término de la velocidad (que como he dicho es proporcional a la resistencia aerodinámica). Por tanto únicamente se contabiliza la fuerza necesaria para acelerar el coche o para subir una pendiente.
- Considero que el efecto es asimétrico. El Cr aumenta cuando subimos una cuesta o cuando aceleremos, pero disminuye muy poco cuando bajamos una cuesta o deceleramos suavemente el coche.
- Considero que la dependencia es cuadrática. Esto es una
aproximación razonable con los datos experimentales si nos mantenemos alejados
de deslizamientos elevados.
NOTA: esta relación no es coherente con la resistencia aerodinámica, en la que hemos considerado una dependencia lineal entre la resistencia aerodinámica y la resistencia de rodadura. Sin embargo en la relación con la velocidad hay otros fenómenos, y además está avalado por resultados experimentales. - Considero que la fuerza ha de ser muy elevada para que el efecto
sea significativo. En concreto ha de ser un 20% de la carga del neumático. Si
suponemos una distribución de los pesos 50%/50% entonces la fuerza de
referencia es un 10% del peso del vehículo.
NOTA: en un típico coche de tracción delantera cabe esperar una distribución de pesos del entorno de 60%/40%, esta aproximación burda funciona bien subiendo una cuesta normal. No funciona bien con aceleraciones muy fuertes, ya que las ruedas tractoras pierden carga (debido a la inercia del coche, pasa justo al revés que al frenar). Por eso en un coche con tracción delantera las ruedas patinan mucho más al acelerar fuerte que al subir una pendiente. No me preocupa, ya que no tiene interés a efectos de consumo aceleraciones muy fuertes. Como veremos más adelante nadie en su sano juicio conduce así si quiere ahorrar combustible. Por eso no tengo ningún interés en modelar condiciones de mucho deslizamiento.
NOTA: ni siquiera subiendo al Tourmalet se encuentran pendientes tan elevadas.
Consideraciones finales
Soy consciente que el modelo propuesto puede contener errores importantes. A bajas velocidades el error será pequeño, a altas velocidades y elevadas pendientes el error puede ser perfectamente del 10%. Por encima de 140Km/h no está ajustado el modelo.
Pero si puedo garantizar que este modelo es mejor aproximación que suponer un Cr constante. (En el caso de mi coche sería suponer un Cr de 0,9%).
Finalmente insisto una vez más que este modelo sólo es válido para una carretera en buen estado y seca.
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