15 ago. 2012

LA VELOCIDAD MEDIA, LA PEOR DE LAS MEDIAS POSIBLES

Introduzco aquí una pequeña curiosidad matemática, que luego nos será útil más adelante cuando estudiemos la velocidad óptima para conducir en cuestas.

Todo el mundo conoce la media aritmética:

XA = (ΣXi)/n = (X1+X2 + … + Xn)/n

Donde:
n es el número de datos.
Xi es cada un de los datos

Ejemplo: la media aritmética de 2 y 5 es (2+5)/2 =3,5

También casi todo el mundo conoce la media geométrica:

XG = (ΠXi)1/n = (X1×X2×….× Xn)1/n

NOTA: elevar a 1/n es lo mismo que calcular la raíz a la enésima potencia.

Ejemplo: la media geométrica de 2 y 5 es (2×5)1/2 =3,162

Finalmente tenemos la media armónica, que no es demasiado conocida, salvo que tengas formación en matemáticas.

XH = n×(Σ1/Xi)-1 = n/(1/X1+1/X2+---+1/Xn)

Ejemplo: la media armónica de 2 y 5 es 2/(1/2+1/5) = 2,857

Además se puede demostrar que la media armónica es la menor de las tres medias. De hecho, se cumple la siguiente relación entre las 3 medias:

XA ≥ XG ≥ XH

Donde las 3 medias únicamente serán iguales cuando todos los valores sean iguales.

La velocidad media de un coche obedece a la media aritmética cuando se calcula según el tiempo transcurrido.

Por ejemplo si circulamos por una carretera 1h a 120Km/h y 0,5h a 10Km/h debido a un atasco la velocidad media a la que hemos circulado es:

Vm = (0,5×10 + 1×120)/(0,5+1) = 83,3Km/h

¿Entonces a que viene toda esta historia de las medias?

Resulta que la velocidad media cuando se calcula según la distancia recorrida obedece a la media armónica.

Para evitar confusiones veámoslo con 4 ejemplos:

Ejemplo 1
En un viaje de 100Km circulo a 90Km/h, pero en 1Km me quedo totalmente parado debido a un atasco, ¿Cuál es mi velocidad media? La respuesta es sencilla, la velocidad media es 0Km/h por que si te quedas parado en un punto no llegas nunca.

Veamos como obtenemos ese resultado al calcular la media armónica:

Vm = 100/(99×1/90 + 1×1/0) = 100/∞ = 0

Ejemplo 2
Veamos el efecto de las travesías. En un viaje por carretera de 100Km, circulo 85Km a 90km/h y 15Km a 50Km/h debido a travesías de pueblos. ¿Cuál es mi velocidad media?

Vm = 100/(85×1/90 + 15×1/50) = 80,4Km/h

Si hubiéramos calculado la media aritmética habríamos obtenido un valor incorrecto: (85×90+15×50)/100 = 84Km/h ¡Un error de nada menos que 4Km/h!

Ejemplo 3
Aplicación a autopista con cuestas: un viaje de 300Km. Hay 10Km de pendiente muy fuerte que subo a 90Km/h para reducir el consumo. ¿A que velocidad he de circular los otros 290Km para obtener una velocidad media de 120Km/h?

La respuesta es 121,4Km/h, ya que:

Vm = 300/(290×1/90 + 10×1/121,4) = 120Km/h

Es decir, bajar la velocidad durante 10Km en 30Km/h nos obliga a subirla en 1,4Km/h durante 290Km.
NOTA: Si hubiéramos hecho los números con la media aritmética la velocidad que habríamos calculado es 121,0Km/h.

Ejemplo 4
Finalmente un ejemplo extremo, tenemos un conductor incapaz de mantener una velocidad constante. En autopista circula un tercio a 120Km/h, un tercio a 100Km/h y otro tercio a 140Km/h ¿Cuál es la velocidad media?

Vm = 3/(1/100 + 1/120 + 1/140) =117,8Km/h

Como el consumo a 140Km/h es muy superior al consumo a 100Km/h, este conductor lo que consigue es consumir más combustible que circulando a 120Km/h, pero tardando más que circulando a 120Km/h.

De aquí podemos sacar otra regla del "dedo gordo": si conduces por autopista a una velocidad irregular acabarás tardando más y gastando más combustible. Por eso si quieres consumir poco combustible has de procurar siempre mantener una velocidad constante, salvo que realmente beneficie mucho a tu consumo alejarte de esa velocidad media. Más adelante veremos ejemplos prácticos de optimización de la velocidad en autopista.

1 comentario:

  1. genial toda la información que nos has brindado, mil mil graciaas :P

    ResponderEliminar